载自：http://home.educities.edu.tw/wanker742126/asm/ap01.html

附录一 数字系统

---

进位法

自人类开始计算数字以来，发明了许多记录数字的方法，最直接的方法就是一条线代表一，两条线现代表二……，但是总不能以十个线条表示十，以一百个线条表示一百 ( 事实上，有些地区的人，一开始只能计算到三，三以上就被认为很多，人类计数，也是一部经历数万年的历史 )。有许多民族想出了解决之道，罗马人是其中之一，他们用一个符号代表五，另一个符号代表十，
I 表示一 X 表示十 M 表示一千
II 表示二 L 表示五十 V 表示五千
III 表示三 C 表示一百
V 表示五 D 表示五百

现在有些时钟钟面上，仍用罗马数字表示。这种方式虽然是很大的进步，但要表示百、千、万就麻烦了。( 注二：罗马数字)

我们现在用的数字系统是印度人发明的（有一说是阿拉伯人）和一般表示数字的方法有两点不同，一是零的发明，一是用位置表示位数。它用 1 代表一、2 代表二，一直到了九变成十的时候就发生进位，这时用 1 表示十位数，后面用 0 表示个位数，表示空位或没有的意思，于是就变成了 10 表示十。因此数字所在的位置不同，代表的意义就不同，小学生都知道 100 这个数有两个 0，但这两个零是不一样的。零的发明，在计数上有很重要的意义。

---

二进位和十进位

或许你会问，为什麽到十才发生进位，不在其他数字发生进位呢？人类採用十进位计数，并没有什麽特殊的理由，这完全是因为人类有十个手指头，你知道吗？有些地方因为连脚指头也用来计数，所以是二十进位。如果有外星人有 8 个手指头，说不定他们就是用八进位。而电脑只有两个「手指头」，记忆体中的电压如果是高电压代表一，低电压代表零，或者我们说高电压代表一、低电压代表零，所以电脑用「二进位」。如果有两个记忆体，就有四种表示方法，分别代表 0、1、2、3：
00 表示 0
01 表示 1
10 表示 2
11 表示 3

如果有三个记忆体，就有八种表示方法，代表 0 到 7：
000 表示 0
001 表示 1
010 表示 2
011 表示 3
100 表示 4
101 表示 5
110 表示 6
111 表示 7

你可以看得出来，如果每加入一个记忆体，可以计数的个数就变成原来的两倍。在电脑中用八个记忆体（也就是八位元）表示 0 到 255 共有 256 个数字。
0000 0000 表示 0
0000 0001 表示 1
0000 0010 表示 2
0000 0011 表示 3
0000 0100 表示 4
……
1111 1111 表示 255

事实上，上面这些例子的左边一大堆的 0 和 1 就是所谓的二进位数，也就是电脑看得懂的数，右边就是我们所熟知的十进位数。那二进位和十进位之间要怎麽转换呢？

二进位数变成十进位数，只要记得 2 的幂方就可以了。也就是说 20=1、21=2、22=4、23=8 ……，计算方式如下，最右边的那一位数若为一，表示加一，若为零表示不加；右边第二位数若为一表示加 2，若为零表示不加；右边第三位数若为一表示加 4，若零表示不加，依此类推，最后再总加起来就可以了。举例来说，下图

二进位 1010 1011 相当于十进位的 171（128+32+8+2+1=171）。

而十进位变成二进位就用连续减去 2 的幂方数即可。举例来说，把 171 变成二进位数方法如下：
171 - 128 = 43 128 的那一位数有一
43　- 64 不够减了，所以 64 那一位为零
43　- 32 = 11 32 的那一位数为一
11　- 16 不够减了，所以 16 那一位为零
11　- 8 = 3 8 的那一位数为一
3　 - 4 不够减了，所以 4 那一位为零
3　 - 2 = 1 2 的那一位数为一
1 最后还剩下一，所以最右边那一位数为一

最后综合上式，由上而下得到 1010 1011，就是 171 的二进位数。

---

十六进位和十进位

在组合语言中，如果用二进位表示数字，那就有一大串的 0 和 1，只要有一点点疏忽，就很容易出错，所以又有十六进位代替二进位较为方便。十六进位的一到九就是阿拉伯数字的 1 到 9，但是十以英文字的 A 表示，十一用 B 表示，…十五用 F 表示，就像下面的表一样：

表一：十六进位与二进位
十进位	二进位	十六进位	十进位	二进位	十六进位
0	0000	0	8	1000	8
1	0011	1	9	1001	9
2	0000	2	10	1010	A
3	0000	3	11	1011	B
4	0100	4	12	1100	C
5	0101	5	13	1101	D
6	0110	6	14	1110	E
7	0111	7	15	1111	F

超过十六进位的 F 时，就发生进位了，这时就变成 10H，也就是 16D；11H 就是 17D。

在组合语言中为了区分这些数字系统，在数字后加上 H 表示十六进位数，加上 D 表示十进位数，加上 O 表示八进位数，加上 B 表示二进位数。此外如果是十六进位而且第一位是英文字母，要在最前面加上阿拉伯数字的 0，才不会使编译器误认为是变数名称，例如表示十六进位的 A12，要用 0A12h，英文字母用大写或小写都是一样的。

再仔细看看，一位的十六进位数刚好可以用四位元表示，也就是说，一位十六进位数必需用四位二进位数表示，换句话说二进位和十六进位之间的转换就是用这个关係，稍候再说明。

十六进位和十进位数之间的转换是最常用的，先说说如何将十六进位变成十进位。在说明如何变换前，先回想小学时假如有一个十进位数 1399，它的数值大小是不是等于 1x103+3x102+9x101+9 呢？这是因为是十进位，所以乘以 10 的幂方数﹔同理如果是十六进位就乘以 16 的幂方数，另外要注意，A 要等于 10d、B 等于 11d 等等。举例来说，现在想把 2AC1 这个十六进位数变成十进位数，

超过十六进位的 F 时，就发生进位了，这时就变成 10H，也就是 16D；11H 就是 17D。

在组合语言中为了区分这些数字系统，在数字后加上 H 表示十六进位数，加上 D 表示十进位数，加上 O 表示八进位数，加上 B 表示二进位数。此外如果是十六进位而且第一位是英文字母，要在最前面加上阿拉伯数字的 0，才不会使编译器误认为是变数名称，例如表示十六进位的 A12，要用 0A12h，英文字母用大写或小写都是一样的。

再仔细看看，一位的十六进位数刚好可以用四位元表示，也就是说，一位十六进位数必需用四位二进位数表示，换句话说二进位和十六进位之间的转换就是用这个关係，稍候再说明。

十六进位和十进位数之间的转换是最常用的，先说说如何将十六进位变成十进位。在说明如何变换前，先回想小学时假如有一个十进位数 1399，它的数值大小是不是等于 1x103+3x102+9x101+9 呢？这是因为是十进位，所以乘以 10 的幂方数﹔同理如果是十六进位就乘以 16 的幂方数，另外要注意，A 要等于 10d、B 等于 11d 等等。举例来说，现在想把 2AC1 这个十六进位数变成十进位数，

2AC1H = 2x163+10x162+12x161+1
= 2x4096+10x256+12x16+1
= 8192+2560+192+1
= 10945

十进位变十六进位可以用连续减法，或者用除法（事实上除法就是连续减法的结果），在此我用除法说明好了，连续减法可以参考上面十进位变二进位的方法。例如现在我把 10945D 变成十六进位，于是先除以 16（为什麽除以 16？想想看）得到馀数就是十六进位的个位数，其商再除 16 ……。例如将 11523 换成十六进位数，步骤如下：

11523 ÷16 =720 ..... 3 → 馀数为十六进位的个位数
720 ÷16 = 45 ..... 0 → 馀数为十六进位的十位数
45 ÷16 = 2 ..... 13 → 馀数 13 （即十六进位 0DH）为十六进位的百位数
2 ÷16 = 0 ..... 2 → 馀数为十六进位的千位数

所以 11523d=2D03h 。

---

十六进位和二进位

好了，现在如果你已经会二进位数，并且瞭解前面所提过的十六进位和二进位换算表（即表一）就很容易了。举例来说，有一个二进位数 110101101101000101 要变成十六进位，就将他由最低位数开始每四个位元一组变成 0011 0101 1011 0100 0101，然后
0011 变成 3
0101 变成 5
1011 变成 B
0100 变成 4
0101 变成 5

得到 35B45H。同理如果是十六进位变成二进位就将上述步骤反方向运算即可。

---

注一： 记得小学老师说：「十进位数 256 也可以看成 2x102+5x101+6x100 。」吗？这裡也是如此，连十六进位变成十进位、二进位变十进位也是用同样的原理。

注二：罗马数字用加法和减法的概念来简化计数方式。不过在说明如何用罗马数字表示之前，得先介绍罗马数字常见的符号：
I 表示一
V 表示五
X 表示十
L 表示五十
C 表示一百
D 表示五百
M 表示一千
 表示五千
 表示一万

在书写罗马数字时，必须由左边向右边书写，所以二用『II』表示，代表 1＋1，三用『III』表示，代表 1＋1＋1，这两个数字，用的是加法的观念。但是四却用『IV』表示，代表 5－1 ，在罗马数字中为了简化书写，如果一个较小数写在较大数左边，则表示相减；反过来说，相同的数写在一起或小数写在大数右边，则表示相加。像前面所说的『II』和『III』，还有六也是用『VI』，它们都表示加法的概念。

我想把 1 到 100 的罗马数字表示方法列成一张表，就很清楚了。

阿拉伯数字	罗马数字	阿拉伯数字	罗马数字	阿拉伯数字	罗马数字	阿拉伯数字	罗马数字
1	I	26	XXVI	51	LI	76	LXXVI
2	II	27	XXVII	52	LII	77	LXXVII
3	III	28	XXVIII	53	LIII	78	LXXVIII
4	IV	29	XXIX	54	LIV	79	LXXIX
5	V	30	XXX	55	LV	80	LXXX
6	VI	31	XXXI	56	LVI	81	LXXXI
7	VII	32	XXXII	57	LVII	82	LXXXII
8	VIII	33	XXXIII	58	LVIII	83	LXXXIII
9	IX	34	XXXIV	59	LIX	84	LXXXIV
10	X	35	XXXV	60	LX	85	LXXXV
11	XI	36	XXXVI	61	LXI	86	LXXXVI
12	XII	37	XXXVII	62	LXII	87	LXXXVII
13	XIII	38	XXXVIII	63	LXIII	88	LXXXVIII
14	XIV	39	XXXIX	64	LXIV	89	LXXXIX
15	XV	40	XL	65	LXV	90	XC
16	XVI	41	XLI	66	LXVI	91	XCI
17	XVII	42	XLII	67	LVII	92	XCII
18	XVIII	43	XLIII	68	LXVIII	93	XCIII
19	XIX	44	XLIV	69	LXIX	94	XCIV
20	XX	45	XLV	70	LXX	95	XCV
21	XXI	46	XLVI	71	LXXI	96	XCVI
22		47	XLVII	72	LXXII	97	XCVII
23	XXIII	48	XLVIII	73	LXXIII	98	XCVIII
24	XXIV	49	XLIX	74	LXXIV	99	XCIX
25	XXV	50	L	75	LXXV	100	C

其中有两处是比较特别的，一是『49』，另一处是『99』，它们不是分别用『IL』和『IC』表示。49 应该先写代表『40』的『XL』，再写代表『9』的『IX』，所以『49』应该用『XLIX』表示。同理『99』应该用『XCIX』表示。